अतिपरवलयों frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = | vedclass

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Question

(B) दिए गए अतिपरवलय एक-दूसरे के संयुग्मी हैं। अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ $(\pm ae_1, 0)$ हैं,जहाँ $e_1 = \sqrt{1 + \f

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$2(a^2 + b^2)$

Vedclass · Answer

(B) दिए गए अतिपरवलय एक-दूसरे के संयुग्मी हैं। अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ $(\pm ae_1, 0)$ हैं,जहाँ $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ की नाभियाँ $(0, \pm be_2)$ हैं,जहाँ $e_2 = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$ है।इन चार नाभियों द्वारा निर्मित चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्णों की लंबाई $2ae_1$ और $2be_2$ है।समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes d_1 	imes d_2 = \frac{1}{2} 	imes (2ae_1) 	imes (2be_2) = 2abe_1e_2$ होता है।यहाँ $e_1 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}$ और $e_2 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,क्षेत्रफल $= 2ab 	imes \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} 	imes \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b} = 2(a^2 + b^2)$ प्राप्त होता है।

अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ की नाभियों द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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दो अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं:

निम्नलिखित में से कौन सा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + b^2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है?

परवलय $y^2=16x$ और वृत्त $x^2+y^2=8$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं

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